Gemlik Forum - Gemlik'in Paylaşım ve Tartışma Platformu

Tarih Öncesi Çağlarda Aritmetik
Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devri'ne kadar uzanır .Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar , hayvanların yaşadığı koşullardan pek farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar .Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı .Avlanmak ve balık tutmak için silahları , birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini geliştirdiler .Yontma Taş Devri'nin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yaşamlarını renklendirdiler .Fransa ve İspanya'daki yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerininayinsel bir anlamı olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı .
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki , yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapıldı .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelişmesine yol açtı .Bu dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı sayısal terimler ortaya çıktı .Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya çıktığı çağ Maden Çağıdır .
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith'in "insan aklının ürünü en soyut düşünceler" olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu .Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu .Örneğin ; "bir insan" değil sadece "insan" kavramını gösteriyordu .Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla daha büyük sayılar oluşturuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .
İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval - petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti .Sayılar , ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmakları kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma yöntemini verebilirim .Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri oluşturulup , bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak algılandı .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı .Yapılan araştırmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandığı 307 sayı siteminden 146'sı onluk , 106'sı onluk , onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı .Çoğu kişi tarafından yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onların da en az bizim kadar zeki olduklarını anladım .Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksika'da Mayalar ve Avrupa'da Keltler tarafından kullanıldı .
Sayılar kümelere ayrılarak , tahtanın üstüne çentik , ipin üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde düzenlenmesiyle sayısal kayıtlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancılarının çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır .
Yontama Taş Devri'ne kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937'de Vestonica'da bulunmuştur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25'i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardı .Yeni dizinin başındaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir dizi izliyordu .
Böylece , sık sık söylenen "eski zamanlarda sayma parmaklara dayalıydı ." görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu .Yazı olmamasına rağmen Yontma Taş Devrin'deki insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .
Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5'erli 10'arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar .Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti .Böylece ilkel bir aritmetik ortaya çıktı .14 bazen 10+4 , bazen de 15-1 olarak gösteriliyordu .20'nin 10+10 değil de 2´10 olarak gösterilmesiyle çarpma başladı .Bölme , 10'un "vücudun yarısı" olarak gösterilmesiyle başladı , ama kesirlerin bilinçli bir şekilde oluşturulması hala çok enderdi .Kuzey Amerika'da kabilelerin ancak birkaçında böyle kesirler biliniyordu , çoğu durumda bu ½'ydi .Bazen 1/3
ya da ¼'de kullanılıyordu .Bir başka ilginç durum çok büyük sayılara duyulan ilgidir .Bu belki de tümüyle insana ait bir tutku olan sürünün büyüklüğü ya da öldürülen düşmanların çokluğunu abartma isteğinin sonucudur .Bu eğilimin kalıntıları İncil'de ve diğer kutsal metinlerde de ortaya çıkar .

Tarih Öncesi Çağlarda Geometri

Cisimlerin uzunluklarını ve içindekileri ölçmek gerekince , genelde insan vücudunun bölümleri kullanılarak ; parmak , ayak , karış gibi basit ölçüler kullanıldı .Arşın , kulaç adları bize bu geleneği hatırlatır .Ev yaparken Hint köylüleri de , Orta Avrupa'da kutup evi yapanlar da yapıları düz çizgiler boyunca ve yere göre dik açıyla yapmak için kurallar geliştirdiler .Örneğin ; "Düz sözcüğü "germek" sözcüğü ile ilgilidir ve iple yapılan işlemleri gösterir ."Doğru" ve "Keten kumaş" sözcükleri , dokumacılık ile geometrinin başlangıcı arasındaki bağlantıyı gösterir .Dokumacılık ölçmeye ilişkin ilginin başlama yollarından biriydi .
Cilalı Taş Devri insanı geometrik desenlere büyük bir ilgi duyuyordu .Çömleklerin pişirilmesi ve boyanması , sazların örülmesi , sepet yapımı ve kumaş dokumacılığı , daha sonra da metallerin işlenmesi , düzlemsel ve alansal ilişkilerin kavranmasını geliştirdi .Dans figürleri de bunda rol oynamış olmalı ki Cilalıtaş Devri'nde yapılan süslemelerde benzerlik ve simetri görülür ; eş şekiller kullanılırdı .Bazı tarih öncesi desenler de üçgensel sayılar , bazılarında ise "kutsal" sayılar yer alıyordu .Pisagor matematiğinde önemli rol oynayan üçgensel sayıların oluşturulma çabaları yansımaktadır .
Bu tür desenler tarih boyunca yaygın olarak kullanılmıştır .Bunların çok güzel örneklerine Girit'teki Minos ve erken dönem Yunan vazolarında , daha sonra Bizans ve Arap moziklerinde , Pers ve Çin duvar halılarında rastlanır .Bu ilk desenlerin dinsel ya da büyüsel bir anlamı olabilir , ama zamanla görsel çekicilikleri ön plana çıkmıştır .
Taş Devri dinlerinde , doğa güçlerine egemen olma çabasının ilkel bir biçimini fark edebiliriz . Dinsel törenler büyü ile iç içeydi .Büyü öğesi de o zamanlar var olan sayı ve biçime ilişkin kavramlarda , heykel , müzik ve resimlerde içeriliyordu .3,4,7 gibi sihirli sayılar , Pentalpha ve Swastika gibi sihirli biçimler vardı .Matematiğin toplumsal kökenleri modern zamanlarda silikleşmişse de insanlık tarihinin ilk dönemlerinde bu kökler açıkça görülebilmektedir ve bazı yazarlar , matematiğin bu yönünün onun gelişiminde belirleyici olduğu görüşündedir ."Modern" sayı bilimi , Cilalı hatta belki de Yontma Taş Devri'nin büyü törenlerinin mirasıdır .
Zaman Kavramı

En ilkel kabilelerde bile bir "zaman" kavramına rastlanır ve bunun sonucu olarak da Güneş Ay ve yıldızların hareketleriyle ilgili bazı bilgileri edinmişlerdi .Bu bilgiler , çiftçilik ve ticaret geliştikçe daha bilimsel bir nitelik kazanmaya başladı .Bitkilerdeki değişimlerin Ay'daki değişimlerle ilişkilendirildiği Ay takviminin kullanılması , insanlık tarihinin çok erken dönemlerine kadar uzanır .İlkel insanlar gündönümünü ya da şafakta yedi yıldızlı Süreyya burcunun yükselişini ilgiyle izliyordu .İlk uygarlıkları kuran insanların astronomi bilgilerinin kökeni tarih öncesi dönemlerden gelen bilgilere dayanıyordu .İlk insanlar , takım yıldızlarından denizcilikte yararlandılar .Astronomiye ilişkin bu gözlemlerinin sonunda kürenin , dairenin ve açısal yönlerin özellikleri hakkında bilgi edinildi .
Matematiğin başlangıcına ilişkin bu birkaç örnek bir bilimin tarihsel gelişiminin , şimdi bu alandaki öğretimde geliştirdiğimiz aşamalarla çakışmayabileceğini göstermektedir .İnsanlarca bilinen en eski geometrik biçimler olan düğümlere ve desenlere ancak son yıllarda bilimsel bir ilgi gösterilmiştir .Öte yandan , grafikle gösterim ya da istatistik gibi matematiğin temel dallarının başlangıcı modern zamanlardadır .Bir matematikçi olan A. Speiser bu konuda şöyle düşünmektedir :
"Matematiğe girişin doğasında var olan sıkıcılığın ön plana çıkma eğiliminin geç başlangıcının sonucu olduğu söylenebilir ; çünkü yaratıcı bir matematikçi ilgi çekici ve güzel problemlerle uğraşmayı yeğler ."
ESKİ UYGARLIKLARIN MATEMATİKLERİ

Doğu Matematiği
Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi .Takvimin hesaplanması , tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi , vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi .Bununla birlikte , yüzyıllar boyunca özel bir zanaat olarak gelişen bilim yalnızca uygulamaya yönelik değildi ; sırlar öğretilirken , soyutlamayayönelik eğilimler de ortaya çıktı .Aritmetiğin cebire dönüşmesi yalnızca daha pratik hesaplamalar sağladığı için olmadı ; bu , aynı zamanda yazıcı okullarında öğretilen bir bilimin doğal bir gelişimiydi .Aynı nedenlerle ölçme ile ilgili bilgiler kuramsal geometrinin başlangıcını oluşturdu .
Mısır Matematiği

Mısır matematiğine ilişkin bilgilerimizin çoğu iki kaynağa dayanır .Bunlar 85 problemi içeren Rhind Papirüsü ve bundan belki de 200 yıl öncesine ait olan ve 25 problemi kapsayan Moscow Papürüsü'dür .Bu elyazmaları düzenlenirken , içerdikleri problemler zaten eskiden beri biliniyordu ; ama yakın dönemden , hatta Roma döneminden kalma az sayıdaki papirüsteki yöntemler de bundan farklı değildi .Kullandıkları matematik onlu sayı sistemine dayanıyordu ve 10'dan büyük her 10'lu birim için özel simgeler kullanılıyordu .Bu tür sistemleri Roma rakamlarından biliyoruz : MDCCCLXXVII = 1878 .Bu sistemi kullanan Mısırlılar , çarpmayı ardışık toplamalara indirgeyen , toplama ağırlıklı bir aritmetik geliştirdi .Örneğin , bir sayıyı 13 ile çarpmak için onu önce 4 ve 8'le çarpıyorlardı daha sonra çıkan sonucu sayının kendisine ekliyorlardı .Bu işlemi yaparak inceleyelim :

Normal çarpma işlemi :3´13=39
Mısırlıların kullandığı yöntem :
3´4 =12
3´8 =24
24+12 =36
36+3 =39
Görüldüğü gibi sonuç aynı .Mısır matematiğinin en önemli yönü kesirlerle yapılan hesaplamalardır .Bütün kesirler , payı bir olan birim kesirlerin toplamı olarak yazılırdı .
Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyordu .Örneğin 100 somun ekmeği 5 kişi arasında , her birine düşen pay aritmetik olarak artarak ve en büyük 3 payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak biçimde bölüştürülmesi problemi böyleydi .7 evin her birinin 7 kedisi , her kedinin kovaladığı 7 farenin olduğu problem , geometrik olarak artan bir serinin toplamının formülünü bildiklerini gösteriyordu .
Böyle problemler için yazılmış şiirler , şarkılar bile vardır .Şu şiiri anımsayalım :

"St. Ives'e giderken
7 karısı olan bir adamla karşılaştım
Her karısının yedi sepeti


Her sepetin yedi kedisi
Her kedinin yedi yavrusu vardı


Her yavrununda yedi çıngırağı vardı
Yavrular , kediler , sepetler , kadınlar ve çıngıraklar
Kaç tanesi St. Ives'e gidiyordu?
Mezopotamya Matematiği

Mezopotamya matematiği , Mısır matematiğinin hiçbir dönemde ulaşamadığı bir düzeye erişti .Burada yüzyıllar içinde bile ilerlemeyi fark edebiliriz .M.Ö 2100'deki en eski metinlerde bile gelişmiş hesap izleri bulunur .Bu metinlerde 10'lu sistemin üzerine 60'lı sistemin eklendiği çarpım tabloları bulunmaktaydı .1 , 60 , 3600 ; hatta 60 üstü ve 60 üstü 2'yi gösteren çiviyazısı simgeler kullanılmıştı .Ama bu onların matematiğinin tipik özelliği değildi .Mısırlılar daha büyük her sayıyı yeni bir simge ile gösterirken , Sümerliler aynı simgeyi kullanıp değerini bulunduğu yere göre belirliyorlardı .
Ayrıca 60'lı sayı sistemi insanlığın kalıcı bir kazanımı oldu .Günümüzde kullandığımız saatin 60 dakika ve 3600 saniyeye bölünmesinin de , dairenin 360 dereceye , her derecenin 60 dakikaya , her dakikanın da 60 saniyeye bölünmesinin kökeni de Sümerliler'e kadar uzanır .Birim olarak 10 yerine 60'ın alınmasının sebebi ölçme sistemlerini birleştirmek olabileceği gibi 60'ın birçok böleninin olması da nedenlerden biri olabilir .

MISIR HİYEROGLİFLERİ

Eğer yazılarınızı eski Mısır hiyeroglifleriyle yazarsanız çoğu kişi bunları okumaya çalışmaktan vazgeçecektir .
Eski Mısır Hiyeroglifleri'nden Mısır rakamlarını öğrenmek çok kolaydır ; çünkü hepsinin bir görsel anlamı vardır .Büyük bir olasılıkla yazı yazmaya başlamadan once Mısırlılar , sayı saymak için parmaklarını kullanıyorlardı .Başka birinin okuması için sayı düzenlemeleri gerektiğinde de , yine büyük bir olasılıkla , yan yana sıralanmış yapraklar , ip parçaları ve çiçekler bırakıyorlardı .Neden mi böyle düşünüyoruz ? Çünkü daha sonradan hiyeroglif yazı sistemini geliştirdiklerinde , yaprak ip parçaları , çiçek ve hatta yılan ve iribaşlar kullanmışlar .

SİHİRLİ MATEMATİK

Sayılar şaşmaz .Bu matematiğin temelidir .Hüner , bu sayıları yerinde kullanabilmekte ve aralarındaki bağıntıların özelliğini tanıyabilmektedir .
Biz de istersek , küçük bir çaba ile matematiğin sihirli yönünü tanıyabiliriz .Tam sayılar arasındaki dört işlemi yapabilen her öğrenci bu matematik oyunlarını öğrenebilir ve uygulayabilir .
Oyun 1 :Karşınızdakinin hangi ay ve günde doğduğunu kolayca söyleyebilirsiniz ; yeter ki karşınızdaki şu isteğinizi sırasıyla yerine getirsin .
Doğduğu ay kaçıncı ay ise onu 5 ile çarpsın .7 eklesin .4 ile çarpsın .Sonra 13 eklesin .5 ile çarpsın .Çıkan sayıya doğum gününü eklesin .Çıkan sayıyı sorun ve bu sayıdan 205 sayısını çıkarmasını isteyin .Sonuçta ilk rakam doğduğu ay , diğer iki rakam ise doğum günüdür .
Oyun2 :Arkadaşınızın yaşı ile birlikte ev numarasını da bulabilirsiniz .Bunun için eviniin numarasını iki ile çarpsın .Haftanını günlerini eklesin .Çıkanı 50 ile çarpsın .Yaşını eklesin 365 çıkarsın .15 eklesin .Elde edilen sayının son iki rakamı yaş ondan öncekiler ev numarasıdır .
Oyun3 :Çoğunuz doğum gününüzün yılın kaçıncı ayı ve günü olduğunu bilirsiniz de Bunun haftanın hangi gününe rastladığını kesin olarak bilemezsiniz .Ya da tarih kitaplarında şöyle bir tarih görürsünüz .4 Temmuz 1862 .Acaba bu tarih haftanın hangi gününe rastlıyor diye merak edersiniz .Şimdi yapacağımız işlem bu günü bulamamızı sağlayacaktır .
Doğum yılınızın son iki rakamını yazın .Örneğin , siz 1990'da mayısın 25'inde doğmuş olsanız , ilk yazacağınnız sayı 90'dır .Bunu dörde bölün .Artan varsa atıp tam bölümü alın .Örnekte bu 22'dir .Aşağıda anahtarını verdiğimiz doğuma ayına ait rakamı alın .Bu örnekte anahtar 2'dir .Ayıncı kaçıncı gününde doğmuşsanız o sayıyı da alın .Bu örnekte 25'dir .Şimdi 1,2,3,4 numaralı anlatımlardaki sayıları toplayın .Yani (90+22+2+25=139)
Bu rakamı 7'ye bölün .Bölümü atın , kalanı alın .Kalan sayıyla 2.sonuç levhasında doğum gününüzü bulabilirsiniz .

Anahtar Sayılar :Ocak 1 , Şubat 4 , Mart 4 , Nisan 0 , Mayıs 2 , Haziran 5 , Temmuz 0 , Ağustos 3 , Eylül 6 , Ekim 1 , Kasım 4 , Aralık 6 .
Sonuç Levhası : 2 Pazartesi , 3 Salı , 4 Çarşamba , 5 Perşembe , 6 Cuma , 0 Cumartesi , 1 Pazar .
Burada dikkat edilecek bir nokta var .Doğum yılınız artık yıl yani 366 günlük yıl ise , anahtar levhasında şu değişikliği yapınız : Ocak 0 , Haziran 3 .

MATEMATİK BİLEN ALDANMAZ

A. Paulosbirincisi kurmaca , ikincisi gerçek olan iki öykü anlatıyor .
Birinci öyküde iki saray seçkini yan yana ata binmiş dolaşıyorlar .Biri diğerine , "Bulabildiğin en büyük sayıyı söyle bakalım diyor ." İkincisi biraz düşündükten sonar sevinçle "ÜÇ" diye haykırıyor .Soru soran bir süre düşündükten sonar , pes ediyor ve oyunu kaybediyor .
İkinci öyküyse , matematikçi G. H. Hardy'yle başka bir ünlü matematikçi hastanede Romanujan'ı ziyarete gitmiş .Laf olsun diye söze şöyle başlamış : "Gelirken bindiğim taksinin numarası çok sıradandı :1729 "Romanujan hemen atılmış :"Sıradan olur mu hiç ?... Son derece ilginç bir sayı bu ! İki farklı biçimde iki sayının küpünün toplamı olarak yazılabilecek en küçük sayı bu !"(Meraklıları için verelim .12 ve 1 , 10 ve 9'un küpleri sonucu sağlıyor.)
Ramanujan , büyük sayılarla bile karmaşık işlemler yapmada ustalaşmış biriydi .Birinci öyküde ki kahraman ise hemen pes ettiğine gore belli ki 3'ten daha büyük bir sayı hayal edemiyor .Bu ilk bakışta inanılmaz gibi görünebilir .Yine de hemen aldanmayın .Avustralya'daki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pekçok yerlerdeki yerliler 3'e kadar bile tam anlamıyla sayamıyorlar .Bu insanların dillerinde sadece 1 ve 2'yi anlatan sözcükler var .3 için biriki , 4 için ikiiki .4'ten sonraki tüm sayılar ise "çok" .Aslında çok büyük sayıları anlatmanın çok çeşitli yolları var .Sözgelimi birin peşine kaç tane 0 koyduğumuzu söyleyebiliriz .

CANLI HESAP MAKİNELERİ
Bazılarının inanılmaz ölçüde güçlü bir belleği vardır .Hepsi de birkaç önemli numara ve aritmetikte kolaylık sağlayacak kısayollar biliyorlardı .Bazen de sahnede zaman kazanabilmek için ya soruyu duymamazlıktan geliyor ya da sorulan soruyu bir de kendileri tekrarlıyorlardı .Bu kişiler gerçekte biraz farklı insanlardır .Örneğin , bundan iki yüzyıl once yaşamış İngiliz J.Buxton yoksul bir çifçiydi .Hiçbir zaman okuma ve yazma öğrenmedi , hatta kağıda bir rakam yazmayı bile bilmiyordu .Gelgelelim , insanların ona sayılarla ilgili ne kadar olağandışı ve beklemedik olursa olsun , sordukları soruların hepsine yanıt verebiliyordu .Örneğin , bir tarla dolusu saç telinin ne kadar olabileceği sorusunu hemencecik yanıtlayabiliyordu . (Tabii ki bunu gerçekten saymaya kimsenin niyeti yoktu .)
Bir gün arkadaşları çiftçiyi Londra'ya bir tiyatroya götürdüler .Oyunun sonunda Buxton arkadaşlarına baş erkek oyuncunun 144445 sözcük söylediğini ve 5202 adım attığını söyledi .Tabii oyunda ne olduğuyla hiç ilgilenmemiş yalnızca saymıştı .Yıllar once sayılarla arası iyi olan bu insanlar bir "bilgisayar" olarak çalışıyorlardı .Bu insanların yerini şimdi makinelerin aldığını duymak bizi şaşırtmıyor .


Biz Neler Yapababiliriz ?
Aslında çok iyi bir belleğe sahip olmadıkça , bu tür işlemleri yazmadan yapmak olanaksızdır .Ama yine de matematiksel işlemlerde birkaç kısayol bilirsek , işlemleri kolayca akıldan yapabiliriz .Bu durum kısa sure sonar bir oyuna da dönüşecektir .Gerçekten de , fazla sayıda kısayol bulabilirseniz belki de siz de arkadaşlarınıza geçmişte yapıldığı gibi bir gösteri sunabilirsiniz .
Bu kısa yollardan en ünlüsü 11 ile yapıla çarpma işlemidir . Örnek olarak :
11.11=121 11.12=132 11.13=143
11.14=154 11.15=165
11 ile çarptığınız diğer sayılara (11 , 12 , 13 , 14 ve 15) ve çarpımın sonuçlarındaki sayıların ortalarındaki sayılara bakalım .Örneğin 11.12 işleminde sonuç 132 , 12'nin 1 ve 2 sayılarının toplamı yani 3 , 132 sayısında ortaya geliyor ve 1 ve 2'de sırayla 3'ün yanlarına yerleşiyor .Çok kolay ...





ASAL SAYILAR
Bir asal sayı , birden büyük olan ve yalnızca 1'e ve kendisine tam olarak bölünebilen sayıdır .Asal sayıları bulmak için bir sürü bölme işlemi yapmak gerekebilir .Ama biz bunu çizerek de yapabiliriz .
1.Bir sayı seçelim .Bu sayıyı yanyana küçük kareler biçiminde gösterelim .Örneğin 3 sayısını seçtiysek bunu yanyana 3 kare olarak göstereceğiz .
2 .Şimdi bu küçük kareleri düzenlemenin farklı yollarını arayalım .Herhengi bir sayının asal sayı olup olmadığını yaptığımız karelere bakarak anlamanın tek bir yolu var :Eğer küçük karelerle dikdörtgen oluşturmanın kareleri yanyana dizmekten başka bir yolu varsa bu sayı asal sayı değildir .