Gemlik Forum - Gemlik'in Paylaşım ve Tartışma Platformu

KAREKÖKLÜ İFADELER

Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan xn  a şeklinde gösterilir, n'incideğerine a'nın n'inci kuvvetten kökü denir ve x =  kuvvetten kök a diye okunur.
Örnekler:
a : Karekök a,• n = 2 için
• n a : Küpkök a,= 3 için
a : Dördüncü kuvvetten kök a diye• n = 4 için  okunur
Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
a Z+ olmak üzere N  0 olmalıdır.için a
Örnekler
R dir. Çünkü hiçbir x reel• x4 = -16 ise x  sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
R fakat-7  R, -16 
x3  R dir.-8 = -8 ise x =
Soru-1
5-x ) ise A nınx-3 )/(1 + x + A = ( reel sayı olması için x'in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm
5-x köklerinin kuvvetleri çift sayıx-3 ve  olduğundan,
05-x  0 ve x-3
x3 ve 5 x
5 tir. Buna göre x  3  x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması

a = am/n dir.

Örnek:
23 = 23/4,8 = •  -2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
(0,5)2x-1 ise x kaçtır?2x = 
Çözüm
2x =  2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)(0,5)2x-1 
2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
x/3 = (1 – 2x)/(2)
x = 8/3 dir.
Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,

a )m =( am





Örnekler:
16(-2)4 = -2 )4 = • (
2 )3 =• ( 8 dir23 = 
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
Z+ olmak üzere,n

a , n tek sayı
an =
, na çift sayı


Örnekler:
53 = 5,125 = • 
(-2)3 =-8 = •  -2
(1/2)5 = ½1/32 = •
= 2224 = 16 = •
3 - 23 – 2)2 = (•  olur.
0 olduğundan,3 - 2 Burada 
33 – 2) = 2 -  = -(3 - 2
26• (22)3 = 4=
3/2(3.32)/(2.42) = 3/427/32 = •
Soru-3
0,0048243 /  işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
3 /48.10-4 = 3.3.34 / 0,0048 = 243 /  3.24.(10-1)4
33 / 2.10-1.= 3.
= 3.10 / 2 = 15 tir.
Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.

(an.b)/(cn)b = a/c .

0Not: n çift sayı ise a/c  olmalıdır.
Örnekler:
6(3.25)/(16) = 3/16 = 2.•
1/x2y2 =• x.y. xyx3y3/x2y2 = 
1/327/34 = -27 = -• -1/3 .  tür.
Soru-4
5 olduğuna göre, A kaçtır?7+35-3)A=(
Çözüm
05-3  olduğundan,
57+35 – 3)A = (
57+35)= -(3-
5)2(3-= - 5).(7+3
5)5)(7+3(14-6= -
5)5).(7+32(7-3= -
2[72 –= - 5)2](3
2 dir.2.4 = -2= -
Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
Z+ olmakk  üzere

an/kan.k = an = 

Örnekler:
225 = 32 = •
3 =•  932 = 
1624 = -2 = --2 = -•
226 = 26 = (-2)6 = •  dir.
Soru-5
53 , ve z = 2 , y = x =
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
26426 = 2 = x =
34 =3 = y =  81
125 ve53 = 5 = z = 
x tir.y64 olduğundan z81125
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
aa = (x+y-z)a – z a + y x gibi.
Örnekler:
2 (köklerin içindeki sayılar farklı)3 + •
77 + •  (köklerin kuvvetleri farklı)
55 = 25 = (3+2-1)5 -25 +• 3 tir.
Soru-6
27/4 işleminin sonucu nedir?12 - 48 + 
Çözüm
48 + (3.32)/(22)3.22 - 3.42 + 27/4 = 12 - 
33 – 3/23 + 2= 4
= 3 tür.3 = 9/2(4+2-3/2)
Soru-7
16 işleminin sonucu-128 + 8 +  nedir?
Çözüm
242.(-4)3 + 23 + 16 = -128 + 8 + 
2 +2 - 4=  2
2= (1-4+1)
2= -2



Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:

b =a .  a.b
a/bb = a / 

Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
bn =am . b = a .  am.bn
0) dir.am/bn (bbn = am / b = a / 
Örnek:
53) / (2 . • ( 6/5 tir.(2.3)/(5) = ) =
Soru-7
16 işleminin sonucu2 .  nedir?
Çözüm
Köklerin kuvvetleri 3.5=15'te eşitlenirse,
2 .16 = 2 .  24
24.325 . =
21725 . 212 = =
4 tür.215 . 22 = 2=
Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
0 olmak m, b 1-) n  bn-m ile çarpılarak paydabm şeklindeki ifadelerde pay ve payda üzere, a/ kökten kurtarılır.
bn-m) / (b)bn-m) = (a . bn-m / bm ) . (bm = (a / a /  dir.
Örnekler
b)/(b)b) = (ab/b) . (b = (a/• a/
25)32 = (1/• 1/ 4/222) = 22/. (
3)] =22.3)/(22.3)].[(2.3) = [1/(2.• 1 / ( 3)/(6)4.3)/(2.3) = (4.(
c) şeklindeki ifadelerde pay ve paydab-2-)a/( c ile,b+
c ileb-c) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b+a/( çarpılır.
(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
b)2 –c) = (b + c)(b - ( c)2 = b – c dir.(
Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
c)] =b+c)/(b+c)].[(b-c) = [a/(b-a/( c)] / [b-c]b+[a(
c)] /b-c)] = [a(b-c)/(b-c)].[(b+c) = [a/(b+a/( [b-c] dir.
Örnek:
5 + 2] /5+2)] = [5+2)/(5-2)].[(5 – 2) = [1/(• 1/( 5 + 25)2 – 22] = [(
3)] =5-3)/(5-3)].[(5+3) = [2/(5 + • 2/( 35-3)2] = 5)2-(3)] / [(5-[2(
Soru-8
7 ifadesinin eşiti4-3/ nedir?
Çözüm
7)4+7)/(4+7).(4-7 = (3/4-3/
42 –7)/4+= (3 97)/4+7)2 = (3(
7 dir.4+=
ba- Z+ olmak üzere, paydada Not: n  b ifadesi varsa pay ve paydaa+b ile,paydada a+ifadesi varsa pay ve payda  b ile çarpılır.a-
Soru-8
2-1) ifadesinin eşiti1/( nedir?
Çözüm
2+1)]2+1)/(2-1)].[(2-1) = [1/(1/(
2)2-11]2+1]/[(= [ 2 – 1)2 + 1) / (= (
2-1)]2-1)/(2-1)].[(2+1)/(= [(
2+1)2+1)(= ( dir.
c2 ilebc + b2 + c şeklindeki ifadelerde pay ve payda b - 3-) a/ çarpılır.
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
b2 +c )(b - ( c )3 = b – c dir.b )3 – (c2 ) = (bc + 
Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
cb - c ) = [a / (b - a / ( c2 )]bc + b2 + c2 ) / (bc + b2 + )].[(
bc + c2 )] / [b - c]b2 + = [a(
c2 ilebc + b2 - c şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b + a/ çarpılır.
(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
b2 -c )(b + ( c )3 = b + c dir.b )3 + (c2 ) = (bc + 
Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
cb + c ) = [a / (b + a / ( c2 )]bc + b2 - c2 ) / (bc + b2 - )].[(
bc + c2)] / [b +b2 - = [a( c]
Örnek:
5232 ) / (5.3 + 52 + 3 )].[(5 - 3 ) = [1 / (5 - • 1 / ( 32 )]5.3 + +
3 )3]5 )3 – (9 ] / [(15 + 25 + = [
915 + 25 + = ( ) / 2
Soru-10
4) ifadesinin eşiti6 + 9 + 1 / ( nedir?
Çözüm
23 - 2 )/(3 - 22 )].[(3.2 + 32 + 4) = [1 / (6+9+1/( )]
2)33)3 – (2]/[(3 - = [
2 dir.3 - =
İç İçe Kökler
x +1-)  y şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığıx - 2y veya 2 araştırılır. Bunun için,
x = a + b
olmak üzere
y = a . b
yx + 2•  ba + b )2 = a + (= 

a+b a.b
a -b )2 = a - (y = x - 2•  b

a+b a.b
Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.




Örnekler:
3 + 11 = 3 + 3 = 4 + 2•
7•  3 tür. = 2 - 34 - 12 = - 2
Soru-11

5 işleminin3 - 5 - 3 +  sonucu nedir?
Çözüm 1
5)][2(3 - 5)] / 2 - [2(3 + 5 = 3 - 5 - 3 +  / 2
2]5) / 2] – [(6 - 25) / 6 + 2= [(
5 – 1)2] – [(5 + 1) / = [( 2]/
25 + 1) / 5 + 1 - = (
2=
Çözüm 2
Verilen ifadeyi x'e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım
53-5 - 3+x =
5 -3+x2 = ( 5 )23-
5)3-5)((3+5 )2-23-5 )2 +(3+x2 = (
5 -5 + 3 - x2 = 3 +  5)232-(2
x2 = 2 olur.4 x2 = 6 - 2
05 3-5 -3+x =  olduğundan
2 dir.x =
Not:

b olmak0 ve a20 , ba üzere,
a2-b)/(2)(a+a2-b )/(2)] + [(a+b = [a+
a2-b(a+b = [a+ a2-b)/(2)(a+)/(2)] - [


0a dır. (m.n.t çift sayı ise aa = 1-)  olmalıdır.)
Örnek:
22 = 2 = •
Soru-12

2 ifadesinin22 eşiti nedir?
Çözüm
Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.

220.22 = 23.22 = 22
128 dir.27 = 221 = =
3-) İç İçe Sonsuz Kökler
a)
aa... = aa

a.x = a... = x aa x
x
a x = 



Örnekler:

8 =28... = 88•
• 7 = 7 dir.7... = 77
b)
aa: ... = a:a:

a: ... = x a:a: a:x = x
a x = x
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
• 8 = 2 dir.8: ... = 8:8:
c)
1+4a) / (2)a+ ... = (1+a+a+ 0)(a
0)1+4a) / (2) (aa- ... = (-1+a-a-

xa  ... = x aaa =x
x = x2 ax
1+4a) / 21+ (
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
5+x = x25+x = x  5+ ... = x 5+5+
x2 –x  x – 5 = 0
1+4.5)/(2) x = (1+
21)/(2) dir. x = (1+
Not:
0a  olmak üzere,

a(a+1)+ ... =a(a+1)+a(a+1)+ a+1
a(a+1)- ... = aa(a+1)-a(a+1)-

Örnek:
12+ ... = 412+12+•  (a = 3, a+1 = 4)

3.4
30- ... = 5 (a = 5, a+1 =30-30-•  6)

6.5










ÖSS SORULARI (1988-1997)
1997/SAYISAL
Soru No: 2
8018) / 40 . (
İşleminin sonucu kaçtır?
55 E)2A)3 B)2 C)1 D)4
Çözüm
9 = 3(40.18) / 80 =  CEVAP A

Soru No: 4
(0,081)-10,00256 . 
İşleminin sonucu kaçtır?
A)4 B)2 C)1 D)-1 E)-4
Çözüm
[(0,2)3]-1 = 0,4 .(0,4)4 .  (0,2)-1
= 0,4 . (1/0,2) = (0,4)/(0,2) = 2 CEVAP B

Soru No: 25
25/64 + (1/9) – (5/12)
İşleminin sonucu kaçtır?
5/12 B)5/8A) C)1/12 D)1/8 E)7/24
Çözüm
(5/8)2 – 2.(5/8).(1/3) + (1/3)2 = [(5/8)–(1/3)]2
= (5/8) – (1/3) = (15/8) / 24 =7/24 CEVAP E


1996/SAYISAL
Soru No: 10
0,09'un karekökü kaçtır?
A)0,081 B)0,081 C)0,81 D)0,3 E)0,03
Çözüm
(0,3)2 = 0,3 CEVAP0,09 =  D

Soru No: 11
1,470,27)/0,48 - (
İşleminin sonucu kaçtır?
A)1/7 B)2/7 C)1 D)0,3 E)0,03
Çözüm
33.0,9) = (0,43.0,16 - ( 33)/0,7– 0,3
3) = 0,1/0,7 = 1/7 CEVAP A3)/(0,7=(0,1

Soru No: 12
2)]2)]+[3 / (3 - 2[3 / ((3 + 2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)6 B)9 C)12 D)16 E)18
Çözüm
2)]/[9-8]}2)]/[9-8]}+{[3.(3+2{[3.(3-2
= 2] = 18 CEVAP E2]+[9+6[9-6
1995/SAYISAL
Soru No: 12
(-5)2(-4)2-9+
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)10 E)11
Çözüm
= 3 – (-4) – [-(-5)]-5 - -4 + 3
= 3 + 4 – 2 = 2 CEVAP C

1994/SAYISAL
Soru No: 11
6-1 olduğuna göre6+1 ve b = a =  (a/b)+(b/a) toplamı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)14/5 E)29/7
Çözüm
6A+b = 2 ve a.b = 5
(a/b) + (b/a) = (a2 + b2)/(ab)
6)2 –= [(a+b)-2ab]/(ab) = [(2 2.5]/5
= (24-10)/5 = 14/5 CEVAP D
1992/SAYISAL
Soru No: 8
aa2 =  şeklinde tanımlandığına göre,
(-3)2](-9)2]/[9 - (-3)2 + [
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-9 B)-3 C)-1 D)3 E)9
Çözüm
) /-9 - 3 + -3(- ) = (-3+3-9)/3-3(
=-9/3 = -3 CEVAP B

1991/SAYISAL
Soru No: 13
0,36)0,16 + 12)/(3.(
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0,6 B)0,9 C)6 3D)9 E)2
Çözüm
36)/(0,4+0,6)(0,6)2] = ((0,4)2+3.12]/[[
= 6/1 = 6 CEVAP C

1990/SAYISAL
Soru No: 11
2)] +[1/(3- 2)][1/(3+
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
2A)6 B)3 C)2 D)3+ 2E)3-
Çözüm
2)/(9-8)]2)/(9-8)]+[(3-[(3+
2) = 62 + 3 - 2= (3 + 2 CEVAP A



Soru No: 22
42 – (-2)2(-4)2 - 
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-24 B)-16 C)-8 D)0 E)8
Çözüm
-(-8) = 4-4+8 = 8 CEVAP4--4 E